Conditionally Gaussian stochastic integrals

We derive conditional Gaussian type identities of the form E [ exp ( i ∫ T 0 utdBt ) ∣∣∣∣ ∫ T 0 |ut|dt ] = exp ( − 2 ∫ T 0 |ut|dt ) , for Brownian stochastic integrals, under conditions on the process (ut)t∈[0,T ] specified using the Malliavin calculus. This applies in particular to the quadratic Brownian integral ∫ t 0 ABsdBs under the matrix condition A †A2 = 0, using a characterization of Yor [6]. Intégrales stochastiques conditionnellement gaussiennes Résumé Nous obtenons des identités gaussiennes conditionnelles de la forme E [ exp ( i ∫ T 0 utdBt ) ∣∣∣∣ ∫ T 0 |ut|dt ] = exp ( − 2 ∫ T 0 |ut|dt ) , pour les intégrales stochastiques browniennes, sous des conditions sur le processus (ut)t∈[0,T ] exprimées à l’aide du calcul de Malliavin. Ces résultats s’appliquent en particulier à l’intégrale brownienne quadratique ∫ t 0 ABsdBs sous la condition matricielle A †A2 = 0, en utilisant une caractérisation de Yor [6].